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518彩票网址大全,必做04 离散型随机变量的分布列、均值与方差(原卷版)_数学_自然科学_专业资料

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518彩票网址大全,必做04 离散型随机变量的分布列、均值与方差(原卷版)_数学_自然科学_专业资料。理科必做题 专题 4 离散型随机变量的分布列、均值与方差 【三年高考】 1. 【2017 江苏,理 23】已知一个口袋中有 m 个白球, n 个黑球( m, n?N*,n≥2 ),这些球除颜色外


理科必做题 专题 4 离散型随机变量的分布列、均值与方差 【三年高考】 1. 【2017 江苏,理 23】已知一个口袋中有 m 个白球, n 个黑球( m, n?N*,n≥2 ),这些球除颜色外全部相 同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1, 2, 3, , m ? n 的抽屉内,其中第 k 次 取出的球放入编号为 k 的抽屉 (k ?1, 2, 3, , m ? n) . 1 2 3 m? n (1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p ; (2)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E(X ) 是 X 的数学期望,证明: E(X ) ? n . (m ? n)(n ?1) 2. 【2014 江苏,理 22】盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相 同. (1)从盒中一次随机抽出 2 个球,求取出的 2 个球的颜色相同的概率; (2)从盒中一次随机抽出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为 x1, x2 , x3 ,随机变量 X 表示 x1, x2 , x3 的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E( X ) . 3.【2012 江苏,理 22】设 ξ 为随机变量.从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ =0;当两条棱平行时,ξ 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1. (1)求概率 P(ξ=0); (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ). 4.【2017 山东 ,理 18】(本小题满分 12 分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对 人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种 心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有 6 名男志愿者 A1,A2,A3,A4,A5,A6 和 4 名女志愿者 B1,B2,B3,B4,从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示,另 5 人接 受乙种心理暗示. (I)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的频率。518彩票网址大全 (II)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 X 的分布列与数学期望 EX. 5.【2017 课标 1,理 19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件 的尺寸服从正态分布 N (?,? 2 ) . (1)假 设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的零件 数,求 P( X ? 1) 及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的零件,就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 ? ? ? 1 16 经计算得 x ? 16 i?1 xi ? 9.97 , s ? 1 16 16 i ?1 ( xi ? x)2 ? 1 16 ( 16 i?1 xi2 ?16x 2 )2 ? 0.212 ,其中 xi 为抽取 的第 i 个零件的尺寸, i ? 1, 2,???,16 . 用样本平均数 x 作为 ? 的估计值 ?? ,用样本标准差 s 作为? 的估计值?? ,利用估计值判断是否需对当 天的生产过程进行检查?剔除 (?? ? 3??, ?? ? 3?? ) 之外的数据,用剩下的数据估计 ? 和? (精确到 0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N (?,? 2 ) ,则 P(? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ) ? 0.997 4 , 0.997 416 ? 0.959 2 , 0.008 ? 0.09 . 6.【2017 课标 II,理 18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取 了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率分布直方图如下: (1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件:“旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产 量不低于 50kg”,估计 A 的概率; (2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关: 旧养殖法 新养殖法 箱产量<50kg 箱产量≥50kg (3) 根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01) 附: K2 ? n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 7.【2017 北京,理 17】为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药, 另一组不服药.一段时 间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者, “+”表示未服药者. (Ⅰ)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率; (Ⅱ)从图中 A,B,C,D 四人中随机.选出两人,记? 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求? 的 分布列和数学期望 E(? ); (Ⅲ)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论) 8.【2017 天津,理 16】从甲地到乙地要经过 3 个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇 到红灯的概率分别为 1 , 1 , 1 . 234 (Ⅰ)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地,求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率. 9.【2017 课标 3,理 18】某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量 相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天 最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25), 需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六 月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天 2 1 3 2 7 4 数 6 6 5 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利 润为 Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位: 瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值? 10.【2016 高考新课标 1 卷】(本小题满分 12 分)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不 足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器 在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三 年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ?19 与 n ? 20 之中选其一,应选用哪个? 11.【2016 高考新课标 2 理数】某险种的基本保费为 a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人, 续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ?5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ?5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 12.【2016 年高考四川理数】(本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确 定一个合理的月用水量标准 x (吨)、一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费,超出 x 的部分按议 价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据 按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0.52 0.40 a 0.16 0.12 0.08 0.04 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量(吨) (I)求直方图中 a 的值; (II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由; (III)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x (吨),估计 x 的值,并说明理由. .13.【2016 年高考北京理数】(本小题 13 分) A、B、C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼 时间,数据如下表(单位:小时); A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 67 89 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)试估计 C 班的学生人数; (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙,假设所 有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (3)再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位:小时), 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ?1 ,表格中数据的平均数记为 ?0 ,试判断 ?0 和 ?1 的大小,(结论不要求证明) 14.【2016 高考山东理数】(本小题满分 12 分) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都 猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一个人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是 3 ,乙每轮猜对的概率是 2 ;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果 4 3 亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (I)“星队”至少猜对 3 个成语的概率; (Ⅱ)“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX. 15.【2016 高考天津理数】(本小题满分 13 分) 某小组共 10 人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,.现从这 10 人 中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. (I)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”,求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 16.【2016 高考新课标 3 理数】下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线 图 (I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 7 7 7 ? ? ? 参考数据: yi ? 9.32 , ti yi ? 40.17 , ( yi ? y)2 ? 0.55 , 7≈2.646. i ?1 i ?1 i ?1 参考公式:相关系数 r ? n ? (ti ? t )( yi ? y) i ?1 , n n ? ? (ti ? t )2 (yi ? y)2 i ?1 i ?1 回归方程 y ? a ? b 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: n ? (ti ? t )( yi ? y) b ? i?1 n ,a ? y ?bt . ? (ti ? t )2 i ?1 17.【2015 高考福建,理 16】某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被 锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直 至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 18.【2015 高考山东,理 19】若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数 字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三 位递增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积 不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得 ?1分;若能被 10 整除,得 1 分. (I)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX . 19.【2015 高考天津,理 16】为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现 有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动 员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概 率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 20.【2015 高考四川,理 17】某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐 3 名男生,2 名女生, B 中学推荐了 3 名男生,4 名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员的水平相当,从参加集 训的男生中随机抽取 3 人,女生中随机抽取 3 人组成代表队 (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率. (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人数,求 X 得分布列和 数学期望. 【2018 年高考命题预测】 离散型随机变量的分布列、均值与方差问题是江苏高考理科选修内容,考试时一般为解答题.第一问主要 考查等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式,对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概 率乘法公式,事件在 n 次独立重复试验种恰好发生 k 次的概率计算公式等五个基本公式的应用,第二问主 要考查分布列、均值与方差问题,特别是离散型随机变量的分布列、均值与方差也是高考的重点,试题多 为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题. 从高考试题来看,频率分布直方图、茎叶图、平均数、方 差、分布列是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,客观题考查知识点较单一,解答题考 查得较为全面,常常和概率、平均数等知识结合在一起,考查学生应用知识解决问题的能力.根据这几年 高考试题预测 2018 年高考,离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点,同时应注意和概率、平 均数、分布列,期望,二项分布,正态分布等知识的结合. 【2018 年高考考点定位】 本节主要有离散型随机变量的分布列,超几何分布,数学期望,方差等基本公式的应用,‘试题多为课本例 题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合 知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题. 最多的概率与统计问题的分值占整个卷面 分值的 12%,且本部分题多为中低档题.从而可以看出近几年高考中概率与统计所占地位的重要性. 【考点 1】离散型随机变量的分布列 【备考知识梳理】 1.离散型随机变量的分布列 (1)随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量,随机变量常用 字母 X,Y,ξ ,η 等表示. (2)离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随 机变量.若? 是随机变量,? ? a? ? b ,其中 a, b 是常数,则? 也是随机变量. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量 X 服从两点分布,即其分布列为 X0 1 P 1? p p 其中 0 ? p ? 1,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布.其中 p ? P? X ?1?称为成功概率. (2)超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{ X ? k }发生的 ? ? 概率为 P X ?k ? C C k n?k M N?M CNn ,k ? 0,1, 2, , m ,其中 m ? min?M, n?,且 n ?N M, ?N n, M, N, N? ?, 称分布列为超几何分布列. X0 1 …m P C C 0 n?0 M N?M CNn C C 1 n?1 M N?M CNn … C C m n?m M N?M CNn (3)设离散型随机变量 X 可能取得值为 x1 , x2 ,…, xi ,… xn , X 取每一个值 xi ( i ? 1, 2, , n )的概率 为 P? X ? xi ? ? pi ,则称表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为随机变量 X 的概率分布列,简称 X 的分布列.有时为了表达简单,也用等式 P? X ? xi ? ? pi ,i ? 1, 2, , n 表示 X 的分布列. 分布列的两个性质:① pi ? 0 , i ? 1, 2, , n ;② p1 ? p2 ? ? pn ? 1. 【规律方法技巧】 1. 求分布列的三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列;(1)可设出随机变量 Y,并确定随机变量的所有可能取值作为 第一行数据;(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据.由统计数据得 到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义. (2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列;求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定 X 的 取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率.而超几何分布就是此类问题中的一种. (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机 变量的分布列. 2. 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)找出随机变量 X 的所有可能取值 xi(i=1,2,3,…,n); (2)求出各取值的概率 P(X=xi)=pi; (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 (1)明确随机变量可能取哪些值. (2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值. (3)根据分布列和期望、方差公式求解. 注意 解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律,以便使用我们掌握的离散型随机变量及其 分布列的知识来解决实际问题. 【考点针对训练】 1.小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放 1 个. (Ⅰ)若小王发放 5 元的红包 2 个,求甲恰得 1 个的概率; (Ⅱ)若小王发放 3 个红包,其中 5 元的 2 个,10 元的 1 个.记乙所得红包的总钱数为 X,求 X 的分布列和 期望. 2.学校为测评班级学生对任课教师的满意度,采用“100 分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽 取 10 名,以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎,个位数字为叶): 规定若满意度不低于 98 分,测评价该教师为“优秀”. (I)求从这 10 人中随机选取 3 人,至多有 1 人评价该教师是“优秀”的概率; (II)以这 10 人的样本数据来估计整个班级的总体数据,若从该班任选 3 人,记? 表示抽到评价该教师为 “优秀”的人数,求? 的分布列及数学期望. 【考点 2】离散型随机变量的期望与方差 【备考知识梳理】 1.均值 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称 E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn 为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量 取值的平均水平. 若Y ? aX ? b ,其中 a, b 为常数,则Y 也是随机变量,且 E ?aX ? b? ? aE ? X ? ? b . 若 X 服从两点分布,则 E ? X ? ? p ; 若 X B?n, p? ,则 E? X ? ? np . 2.方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ? ? 则 xi ? E ? X ? 2 描述了 xi ( i ? 1, 2, , n )相对于均值 E ? X ? 的偏离程度,而 D ? X ? ? n ?? xi ? E ? X ??2 pi i ?1 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E ? X ? 的平均偏离程度.称 D? X ? 为随机变量 X 的方差,其算术平方根 D ? X ? 为随机变量 X 的标准差. 若Y ? aX ? b ,其中 a, b 为常数,则Y 也是随机变量,且 D?aX ? b? ? a2D? X ? . 若 X 服从两点分布,则 D? X ? ? p?1? p? . 若 X B?n, p? ,则 D? X ? ? np?1? p?. 【规律方法技巧】. 1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量? 的均值、方差,求? 的线性函数? ? a? ? b 的均值、方差和标准差,可直接用? 的均值、 方差的性质求解; (3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公 式求解. 2. 求离散型随机变量均值的步骤 (1)理解随机变量 X 的意义,写出 X 可能取得的全部值; (2)求 X 的每个值的概率; (3)写出 X 的分布列; (4)由均值定义求出 E ? X ? . 3. 六条性质 (1) E ?C? ? C ( C 为常数) (2) E ?aX ? b? ? aE ? X ? ? b ( a, b 为常数) (3) E ? X1 ? X2 ? ? E ? X1? ? E ? X2 ? (4)如果 X1, X 2 相互独立,则 E ? X1 ? X2 ? ? E ? X1 ?? E ? X2 ? (5) D? X ? ? E ? X 2 ? ? ?E ? X ??2 (6) D?aX ? b? ? a2D? X ? 4. 均值与方差性质的应用若 X 是随机变量,则? ? f ? X ? 一般仍是随机变量,在求? 的期望和方差时,熟 练应用期望和方差的性质,可以避免再求? 的分布列带来的繁琐运算. 【考点针对训练】 1.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题,按照题目要求 独立完成规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过.已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成,2 道 题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是 2 ,且每题正确完成与否互不影响 3 (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大? 2.某企业有100 位员工.拟在新年联欢会中,增加一个摸球兑奖的环节,规定:每位员工从一个装有 4 个标 有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该员工所获的中奖额.企业预算抽奖总额 为 6000 元,共提出两种方案. 方案一:袋中所装的 4 个球中有两个球所标的面值为10 元,另外两个标的面值为 50 元; 方案二:袋中所装的 4 个球中有两个球所标的面值为 20 元,另外两个标的面值为 40 元. (Ⅰ)求两种方案中,某员工获奖金额的分布列; (Ⅱ)在两种方案中,请帮助该企业选择一个适合的方案,并说明理由. 【两年模拟详解析】 1.【2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)】已知袋中装有大小相同的 2 个白球、2 个红 球和 1 个黄球.一项游戏规定:每个白球、红球和黄球的分值分别是 0 分、1 分和 2 分,每一局从袋中一次 性取出三个球,将 3 个球对应的分值相加后称为该局的得分,计算完得分后将球放回袋中.当出现第 n 局得 ?Sn? 分( n ? N* )的情况就算游戏过关,同时游戏结束,若四局过后仍未过关,游戏也结束. (1)求在一局游戏中得 3 分的概率; (2)求游戏结束时局数 X 的分布列和数学期望 E ? X ? . 2.【南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟】(本小题满分 10 分) 某年级星期一至星期五每天下午排 3 节课,每天下午随机选择 1 节作为综合实践课(上午不排该课程),张 老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率; (2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为 X,求 X 的概率分布表与数学期望 E(X). 3.【2017 年第三次全国大联考江苏卷】袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 .现 7 有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取……直到袋中的球取完 即终止.若摸出白球,则记 2 分,若摸出黑球,则记 1 分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.用 ? 表示甲、乙最终得分差的绝对值. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量? 的分布列及期望 E? . 4.【2017 年第一次全国大联考江苏卷】已知正四棱柱的底面边长为 2 ,高为 3 ,现从该正四棱柱的 8 个顶点 中任取 3 个点.设随机变量? 的值为以取出的 3 个点为顶点的三角形的面积. (1)求概率 P(? ? 2) ; (2)求? 的分布列,并求其数学期望 E(? ). 5.【2017 年高考原创押题预测卷 02(江苏卷)】某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况,随机抽 取了 100 名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图. (Ⅰ)根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数 x 和众数 m (同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表); (Ⅱ)已知样本中玩电脑游戏时长在[50,60]的学生中,男生比女生多 1 人,现从中选 3 人进行回访,记选 出的男生人数为? ,求? 的分布列与期望 E(? ) . 6.【扬州市 2016—2017 学年度第一学期期末检测】(本小题满分 10 分) 为了提高学生学习数学的兴趣,某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学 与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行 学习,假设三人选择课程时互不影响,且每人选择每一课程都是等可能的. (1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率; (2)设 X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,求 X 的分布列和数学期望 E( X ) . 7.【2017 南通扬州泰州苏北四市高三二模】(本小题满分 10 分) 某乐队参加一户外音乐节,准备从 3 首原创新曲和 5 首经典歌曲中随机选择 4 首进行演唱. (1)求该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率; (2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为 a(a 为常数),演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为 2a.求观众与乐队的互动指数之和 X 的概率分布及数学期望. 8. 【江苏省扬州中学 2015—2016 学年第二学期质量检测】计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水 电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位: 亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求在未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关 系; 年入流量 X 40 ? X ? 80 80 ? X ?120 X ?120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电 机运行,则该台发电机年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台发电机年亏损 800 万 元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应 安装发电机多少台? 9.【江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016 届高三第二次调研测试数学试题】(本小题满分 10 分)一 个摸球游戏,规则如下:在一不透明的纸盒中,装有 6 个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费 1 元 可玩 1 次游戏,从中有放回地摸球 3 次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球,然后摸球.当所指 定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的玻璃球出现 1 次,2 次,3 次时,参加者可相应获得游戏 费的 0 倍,1 倍, k 倍的奖励( k ? N* ),且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩 1 次游戏的收益为 X 元. (1)求概率 P? X ? 0? 的值; (2)为使收益 X 的数学期望不小于 0 元,求 k 的最小值. (注:概率学源于赌博,请自觉远离不正当的游戏!) 10.【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】(本小题满分 10 分) 甲、乙两人投篮命中的概率分别为 2 与 1 ,各自相互独立.现两人做投篮游戏,共比赛 3 局,每局每人各投一 32 球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期望 E(ξ). 11.【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分 10 分) 从 0,1,2,3,4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数,记 X 为所组成的三位数各位数字之和. (1)求 X 是奇数的概率; (2)求 X 的概率分布列及数学期望. 12.【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研(二)数学试题】(本小题满分 10 分) 一个口袋中装有大小相同的 3 个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有 3 次摸到红球 即停止. (1)求恰好摸 4 次停止的概率; (2)记 4 次之内(含 4 次)摸到红球的次数为 X ,求随机变量 X 的分布列. 13.【江苏省苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016 届高三最后一次模拟考试】(本小题满分 10 分) 已知甲箱中装有 3 个红球、3 个黑球,乙箱中装有 2 个红球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同. 某商场 举行有奖促销活动,设奖规则如下:每次分别从以上两个箱中各随机摸出 2 个球,共 4 个球. 若摸出 4 个 球都是红球,则获得一等奖;摸出的球中有 3 个红球,则获得二等奖;摸出的球中有 2 个红球,则获得三 等奖;其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中. (1)求在 1 次摸奖中,获得二等奖的概率; (2)若连续摸奖 2 次,求获奖次数 X 的分布列及数学期望 E( X ) . 【一年原创真预测】 1. 某校为了提高学生身体素质,决定组建学校足球队,学校为了解报名学生的身体素质,对他们的体重进 行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,其中第 2 小组的频数为12 . (Ⅰ)求该校报名学生的总人数; (Ⅱ)若从报名的学生中任选 3 人,设 X 表示体重超过 60kg 的学生人数,求 X 的数学期望与方差. 2.2015 年 3 月 15 日,中央电视台揭露部分汽车 4S 店维修黑幕,国家工商总局针对汽车制造行业中的垄断 行为加大了调查力度,对汽车零部件加工的相关企业开出了巨额罚单.某品牌汽车制造商为了压缩成本,计 划对 A 、 B 、C 三种汽车零部件进行招标采购,某著名汽车零部件加工厂参入了该次竞标,已知 A 种零部 件中标后即可签合同,而 B 、C 两种汽车零部件具有很强的关联性,所以公司规定两者都中标才能签合同, 否则都不签合同,而三种零部件是否中标互不影响.已知该汽车零部件加工厂中标 A 种零部件的概率为 3 , 4 只中标 B 种零部件的概率为 1 , B 、 C 两种零部件签订合同的概率为 1 . 8 6 (Ⅰ)求该汽车零部件加工厂 C 种汽车零部件中标的概率; (Ⅱ)设该汽车零部件加工厂签订合同的汽车零部件种数为 X ,求 X 的分布列与期望. 3.已知某校高三(1)班有 50 名学生,从中按照系统抽样的方法抽取10 名学生. (1)若第 5 组抽出的号码为 22 ,写出所有被抽出学生的号码; (2)分别统计这10 名学生某高校自主招生考试成绩(满分:100 分),获得成绩数据的茎叶图如图所示,现从 这10 名学生中随机抽取 3 名学生成绩,其中有? 名学生的成绩是超过 75 的,求? 的分布列与期望.

文档贡献者

学数学就是简单

贡献于2017-11-04

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