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凤凰平台正常登入网址,高中数学《2.2等差数列》第1课时课件 新人教A版必修5_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念及通项公式 【课标要求】 1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的判定方法. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,深化认 识并能运用. 【核心扫描】 1


2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念及通项公式 【课标要求】 1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的判定方法. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,深化认 识并能运用. 【核心扫描】 1.等差数列的判定.(难点) 2.等差数列的通项公式及运用.(重点) 自学导引 1.等差数列的定义 如果一个数列从第_2_项起,每一项与它的_前__一__项__的差等 于_同__一__个__常__数__,那么这个数列就叫做等差数列,这个 _常__数__叫做等差数列的_公__差__ ,通常用字母_d_表示. :若已知数列{an}中,首项为a1,且满足an-an-1 =d(n∈N*,n≥2)或an+1-an=d(n∈N*),则数列{an}为等 差数列,正确吗? 提示:正确.上述式子是等差数列定义的符号表示. 2.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列中,_A_叫做a与b的等差 中项.这三个数满足关系式a+b=_2_A_. 3.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则等差数列的通 项公式为an=_a_1_+__(_n_-__1_)_d_. :推导等差数列的通项公式,除了课本上的归纳法 外,还有哪些方法. 提示:法一 (累加法) ∵{an}为等差数列, ∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,…, a2-a1=d. 以上各式两边分别相加,得an-a1=(n-1)d, ∴an=a1+(n-1)d. 法二 (迭代法) ∵{an}是等差数列, ∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…= a1+(n-1)d, ∴an=a1+(n-1)d. 法三 (逐差法) ∵{an}是等差数列, ∴an=an-an-1+an-1,an-1=an-1-an-2+an-2,an-2= an-2-an-3+an-3,…,a2=a2-a1+a1, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2 -a1)+a1=(n-1)d+a1, ∴an=a1+(n-1)d. 名师点睛 1.等差数列定义的理解 (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义,其 一,第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差 ”相吻合;其二,定义中包括首项这一基本量,且必须从 第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差. (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要 求,它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面 的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求,否则这个数列不 能称为等差数列. 2.等差中项的理解 (1)a,A,b 成等差数列?A-a=b-A?A=a+2 b. (2)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差 数列的方式,如若an,an+1,an+2满足2an+1=an+an+2, 则数列{an}为等差数列,这是因为2an+1=an+an+2等价于 an+1-an=an+2-an+1,显然满足等差数列的定义. (3)在等差数列中,除首末两项外,任何一项都是前后两 项的等差中项. 3.等差数列的通项公式 (1)确定a1和d是确定通项的一般方法. (2)由方程思想,根据an,a1,n,d中任何三个量可求解另 一个量,即知三求一. (3)通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量 为n的一次函数. 题型一 等差数列的通项公式及应用 【例1】 已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积 为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗? [思路探索] 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列 的基本运算. 解 依题意得?????aa11+·a2a·a2+ 3=a63= 6,18, ∴?????3aa1·1?+a1+3dd=?·?1a81,+2d?=66, 解得?????ad=1=-115,, 或?????ad=1=51., ∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0. 故取a1=11,d=-5. ∴an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16. 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16. 令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10. ∴-34是数列{an}的第10项. 在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两 个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条 件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1, d的关系列方程组求解,但是要注意公式的变形及 整体计算,以减少计算量. 【变式1】在等差数列{an}中,已知a5=11,a8=5,求a10. 解 设数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意知: ??a1+4d=11, ???a1+7d=5, 解得?????da=1=-192,. ∴an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21. ∴a10=-2×10+21=1. 题型二 等差中项及其应用 【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成 等差数列,求此数列. [思路探索] 由a1=-1及a5=7,可使用通项公式求得公差 d,再利用通项公式分别求得a,b,c;也可利用等差中项 先求得b,再依次使用等差中项求得a,c. 解 法一 设a1=-1,a5=7. ∴7=-1+(5-1)d?d=2. ∴所求的数列为-1,1,3,5,7. 法二 ∵-1,a,b,c,7成等差数列, ∴b是-1与7的等差中项. ∴b=-12+7=3. 又 a 是-1 与 3 的等差中项,∴a=-12+3=1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项,∴c=3+2 7=5. ∴该数列为-1,1,3,5,7. 在等差数列{an}中,由定义有an+1-an= an-an-1(n≥2,n∈N*),即 an=an+1+2 an-1,从而由 等差中项的定义知,等差数列从第 2 项起的每一项 都是它前一项与后一项的等差中项. 【变式2】若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求 m和n的等差中项. 解 由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10. 两式相加,得m+n=6. ∴m 和 n 的等差中项为m+2 n=3. 题型三 等差数列的判定与证明 【例3】已知数列{an}满足 a1=4,an=4-an4-1(n>1),记 bn=an-1 2. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 审题指导 [ 规 范 解 答 ] (1) 证 明 bn + 1 - bn = 1 an+1-2 - 1 an-2 = ???4-a14n???-2-an-1 2=2?aan-n 2?-an-1 2=2?aann--22?=12.(4 分) 又 b1=a1-1 2=21, ∴数列{bn}是首项为21,公差为21的等差数列.(6 分) (2)解 由(1)知 bn=12+(n-1)×12=21n.(10 分) ∵bn=an-1 2,∴an=b1n+2=n2+2.(12 分) 【题后反思】 判断一个数列是否是等差数列的常用方法 有: (1)an+1-an=d(d为常数,n∈N*)?{an}是等差数列; (2)2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列; (3)an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)?{an}是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例 即可. 【变式3】判断下列数列是否为等差数列: (1)an=3-2n; (2)an=n2-n. 解 对任意n∈N*, (1)∵an+1-an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2,是同一常 数, ∴数列{an}是等差数列. (2)∵an+1-an=(n+1)2-(n+1)-(n2-n)=2n,不是同一 常数, ∴数列{an}不是等差数列. 误区警示 对等差数列的定义理解不透彻 【示例】若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n,试说明数列 {an}为等差数列. [错解] 因为an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以a1=10+lg 2,a2=10+2lg 2,a3=10+3lg 2,…, 所以a2-a1=lg 2,a3-a2=lg 2,…, 故数列{an}为等差数列. 证明一个数列为等差数列,以特殊代替 一般,用验证几个特例作为证明是不正确的,必须 用定义或与定义等价的命题来证明. [正解] 因为an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N*). 所以数列{an}为等差数列. 要说明一个数列为等差数列,必须 说明从第二项起所有的项与其前一项之差为 同一常数,即an-an-1=d(n≥2)恒成立,而不 能只验证有限个相邻两项之差相等.
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文档贡献者

周圣民

班主任

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